數學模型概述

描述系統性能的數學表達式，稱系統的數學模型。

實際存在的許多工程控制系統，不管它是機械的、電氣的、氣動的、液動的、生物學的和經濟學的等等，它們的動態性能都可以用數學表達式(即數學模型)來描述(例如微分方程、差分方程等)。

研究和分析一個系統性能是否滿足要求，都是從數學模型的建立開始的。

同一個系統，可用不同的數學模型來表達，數學模型的復雜程度可以不同。例如，具體的物理系統總是非線性的，真正的系統數學模型應該是非線性的;而且嚴格地講，具體物理系統的參數不可能都是集中參數，真正的系統數學模型又應該是偏微分方程。但是求解非線性方程和偏微分方程相當困難，有時甚至是不能求解。為使問題簡化，通常在影響不大、誤差允許的條件下，忽略次要因素，用簡化的數學模型來表述實際的系統。

數學模型有多種形式。微分方程是數學模型，傳遞函數、狀態變量表達式等也是數學模型。

建立數學模型的方法，有分析法和實驗法。

建立數學模型的基本原則:

(1)全面考慮系統的特點和要求，分步建立數學模型。

(2)根據所應用的系統分析方法，建立相應的數學模型。

例如，在分析單輸人和單輸出線性系統時，建立微分方程，采用傳遞函數;在最優控制和多變量控制中，采用狀態方程;而對離散系統則采用差分方程。

傳遞函數的要點

傳遞函數在經典理論中是一個很重要的函數，是常用的數學模型。

微分方程是動態系統的數學模型(時域t的模型);傳遞函數是靜態系統的數學模型，它是復頻域s的模型。

當系統參數結構變化時，利用傳遞函數可以研究其對系統性能的影響。

定義

在線性(或經線性化)定常系統中，當初始條件為O時，系統的輸出與輸入的拉氏變換之比，稱為系統的傳遞函數。

典型環節及其傳遞函數

自動控制系統是由若干元件有機組合而成的。從結構及作用原理上看，有各種各樣不同的元件，但從動態性能或數學模型來看，可分成幾種基本環節，或稱典型環節。不管元件是機械式、電氣式還是液壓式，只要它們的數學模型一樣，它們就是同一種環節。這樣劃分，為系統的分析和研究帶來很多方便，對理解和掌握各種元件對系統動態性能的影響也很有幫助。

系統的結構圖及其傳遞函數

1.系統的結構圖

自動控制系統可由若干環節按一定的作用關系組合而成。由具有一定函數關系的環節組成，并標明信號流向的系統框圖，稱為系統的結構圖。

2.結構圖的作法

(1)把元件看成典型環節或它們的組合;

(2)代人對應典型環節的傳遞函數;

(3)導出元件的變換關系，按信號的傳遞方向連接而成。

注：文章內容和圖片均來源于網絡，只起到信息的傳遞，不是用于商業，如有侵權請聯系刪除！